Differenziation 5 Ableitung der elementaren Funktionen 6 Differenziationsregeln 6 Ableitung der Umkehrfunktion

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Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Formelsmmlug Igeieurmthemtik Ihlt (. Semester) Seite Grudegriffe 3 Trigoometrische Fuktioe 3 Additiostheoreme 3 Hl- Doelwikelformel 3 Verschieuge ud Dehuge 4 Kreis ud Kugel
Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Formelsmmlug Igeieurmthemtik Ihlt (. Semester) Seite Grudegriffe 3 Trigoometrische Fuktioe 3 Additiostheoreme 3 Hl- Doelwikelformel 3 Verschieuge ud Dehuge 4 Kreis ud Kugel 4 Prel 4 Vektore, Sklr- ud Vektorrodukt 4 Biomische Formel Differezitio 5 Aleitug der elemetre Fuktioe 6 Differezitiosregel 6 Aleitug der Umkehrfuktio Höhere Fuktioe 6 Logrithmus 6 Eoetilfuktio 7 Logrithmische Auftrguge 7 Arcusfuktioe 7 Hyerolische Fuktioe 7 Arefuktioe Tyloretwickluge 8 Näheruge ud Tylorreihe 8 Die wichtigste Tylorreihe Itegrlrechug 9 Hutstz der Alysis 9 Stmmfuktio ud uestimmtes Itegrl 9 Itegrtiosregel Sustitutio Prtielle Itegrtio Nullstelle vo Polyome Prtilruchzerleguge komliziertere Prtilruchzerleguge 3 Itegrltfe: Gruditegrle 3 Itegrle mit rtiole Fuktioe 3 Itegrle mit Wurzelfuktioe 4, 5 Itegrle mit Wikelfuktioe 5 Itegrle mit Arcusfuktioe 5 Itegrle mit Eoetilfuktioe 6 Itegrle mit Hyerelfuktioe Aweduge 6 Bogeläge, Oerfläche der Itegrlrechug 7 Volume, Schwerukt, Momet, Areit Mtrize ud 8 Mtri, Mtrimultiliktio liere Gleichugs- 8 Recheregel, Defiitioe, Determite systeme 9 Gußelimitio, Rg eier Mtri, homogee, ihom. ud llgemeie Lösug Guß-Jord-Verfhre Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Ihlt (. Semester) Formelsmmlug Igeieurmthemtik Seite Komlee Zhle 3 Krtesische ud olre Drstellug 3 Recheregel 3 Komlee Schwiguge 4 Komlee Frequezgäge Fourierreihe, 5 Fourierreihe diskrete Fourier- 6 Awedug der Fourierlyse i der Schwigugslehre Trsformtio 6 Diskrete Fouriertrsformtio 7 Schelle Fouriertrsformtio Kurve ud Fläche 7 Prmetrische eee Kurve 8 Zylider- ud Kugelkoordite, 3D-Kurve 8 Tgete, Normle, Krümmug 8 Tgetil- ud Nomleschleuigug, 3D-Fläche Prtielle Aleitug 9 Prtielle Aleitug, 9 Tgetileee 9 Ketteregel, Grdiet 3 Höhere Aleituge, Etremwerte 3 Tylorreihe mehrerer Veräderlicher Mehrfchitegrle 3 Flächeitegrle 3 Oerflächeihlt 3 Sttische Momete, Flächeschwerukt 3 Flächemomete. Grdes 3 Volumeitegrle 33 Msseträgheitsmomete Llce- 33, 34 Defiitio, Aweduge, wichtige Bildfuktioe Trsformtio 34, 35 Recheregel, Trsformtiossätze 35 Rücktrsformtio durch Prtilruchzerlegug 35 Korresodeztfel Differezil- 38 Defiitio, eifche Lösugsverfhre gleichuge (DGL) 39 Lösug mit der Llcetrsformtio 39 Gekoelte DGL-Systeme Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Grudegriffe Trigoometrische Fuktioe Formelsmmlug Igeieurmthemtik Gegekthete 3 si : = si 3 = si 45 = si 6 = Hyoteuse Akthete 3 cos : = cos3 = cos 45 = cos6 = Hyoteuse Gegekthete si t : = = t 45 = Akthete cos si + cos = trigoometrischer Pythgors 3 Additiostheoreme si( α ± β ) = siα cos β ± cosα si β cos( α ± β ) = cosα cos β siα si β tα ± tβ t( α ± β ) = tα t β Hlwikelformel α cosα si = ± α + cosα cos = ± α cosα siα cosα t = ± = = + cos α + cos α si α Doelwikelformel si( α ) = siα cosα cos( ) = cos si = cos = si α α α α α tα t( α ) = t α Verschieuge ud Dehuge Veräderug des Grhe Verschieug um ch oe Verschieug um ch rechts Dehug um Fktor c ch oe Dehug um Fktor d ch rechts i Formel ersetze y durch y- durch - y durch y/c durch /d Bs.: + y = Eiheitskreis (/d) + (y/c) = Ellise mit Hlchse d i - ud c i y-richtug Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Grudegriffe Formelsmmlug Igeieurmthemtik 4 Kreis ud Kugel Kreisumfg πr= πd (Rdius, Durchmesser) Kreisfläche πr Kugelfläche 4πR Kugelvolume 4 3 πr3 Prel llgemeie Prelgleichug: y = + + c Nullstelle ( Mitterchtsformel ): / ± 4c = Vektore Sklrrodukt + Bezeichug = y Additio + = y + y z z + z Betrg ( Läge) : = = + y + z Eiheitsvektor ˆ = Sklrrodukt : = + yy + zz = cosθ θ : Wikel zwische ud ( θ π ) yz zy Vektorrodukt Vektorrodukt c = : = z z y y Eigeschfte = siθ,, c ilde Rechtssystem c steht sekrecht uf ud Vorsicht = Biomische Formel Biomiilkoeffiziet ( + ) = ( k ) k=! ( ) = k k iomischer Stz Biomiilkoeffiziet : oder : k k!( k)! Zeile Slte k im Psclsche Dreieck = Fkultät!: = ( )... : = ( k) = k k= k= Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Differezitio Formelsmmlug Igeieurmthemtik 5 Aleituge der wichtigste elemetre Fuktioe f ( ) f '( ) r r r r reell si cos cos si t cos rcsi rccos rct + e l log e l l sih cosh th cosh sih cosh rsih rcosh rth + Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Differezitio Differezitiosregel f, g : Fuktioe vo, : Kostte Formelsmmlug Igeieurmthemtik d Lierität ( f + g ) = f ' + g ' d d Produktregel ( f g ) = f ' g + fg ' d d f f ' g fg ' Quotieteregel = d g g d Ketteregel ( f ( g( ) ) = f '( g( )) g '( ) d Nchdiffereziere 6 Aleitug der Umkehrfuktio ( )' f ( ) = oder ( f )'( f ( )) = f '( f ( )) f '( ) Höhere Fuktioe Logrithmus log Logrithmus mit elieiger Bsis l türlicher Logrithmus le = e = =, Euler Zhl k! k= lg er Logrithmus lg = l l lg = = l,3 log() = log( ) = log + log log = log log log = log log = l log l e = l Eoetilfuktio e = l Eoetilfukt. = Umkehrfukt. des Logrithmus y + y = y = y ( ) y y y y ( ) = = ' ( ) l ( ) = e ' = e Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Höhere Fuktioe Formelsmmlug Igeieurmthemtik 7 Logrithmische Auftrguge Fuktiosty Auftrgug Steigug Pukt y log log y y y( ) C y log. li. C=y() y lg lg y y y( ) C y log. log. lg lg C=y() Iverse Wikelfuktioe (Arcusfuktioe) Hutäste der Wikelfuktioe (eieideutige Bereiche): Defiitiosereich Werteereich si - /.. / -.. rcsi cos rccos t - /.. / -.. rct Werteereich Defiitiosereich Hyerolische Fuktioe e sih e cosh e th e e e e e cosh sih 5 sih( ) cosh( ) e th( ) Iverse hyerolische Fuktioe (Arefuktioe) rsih l rcosh l rth l Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Tyloretwickluge Formelsmmlug Igeieurmthemtik 8 Tylorreihe liere Näherug f ( + h) f ( ) + f '( ) h k = ( k ) f ( ) Näherug te Grdes f ( + h) f ( ) + h k! Tylorreihe k ltertive Schreiweise (Etwicklugszetrum sei jetzt icht mehr soder, Berechugsstelle sei jetzt icht mehr +h soder ): k= ( k) f ( ) f ( ) = ( ) k! k Die wichtigste Tylorreihe e = ! = = = = = + si = ! ( ) ( + ) cos = ! ( ) ( ) l ( + ) = ( ) = geometrische Reihe Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Itegrlrechug Hutstz der Differezil- ud Itegrlrechug d Hutstz der Alysis: f ( t) dt = f ( ) d Formelsmmlug Igeieurmthemtik I Worte: Aleitug des estimmte Itegrls ch der oere Greze = Itegrd, geomme der oere Greze Itegrtio ist die Umkehrug der Differezitio 9 Stmmfuktio Dmit k m estimmte Itegrle so estimme: F() heißt Stmmfuktio vo f(), we F = f F ist is uf eie Itegrtioskostte C eideutig [ ] f ( ) d = F( ) F( ) = F( ) = F( ) Um eie Stmmfuktio F vom Itegrd f zu erhlte, müsse die Differeziertelle ur vo rechts ch liks gelese werde. Allerdigs lässt sich lytisch (lso mit Stdrdfuktioe) rktisch jede Fuktio differeziere, jedoch icht otwedigerweise itegriere. Differeziere ist Routie, Itegriere ist Kust! Uestimmtes Itegrl derer Ausdruck für Stmmfuktio, edeutet geu dssele. Aderes Symol: f ( ) d = F( ) (eim Itegrlzeiche werde die Greze weggelsse) Itegrtiosregel - Lierität (gilt für estimmte ud uestimmte Itegrle) ( f ( ) ± g( )) d = f ( ) d ± g( ) d - Vertusche der Greze f ( ) d = f ( ) d - Zwischeschiee eier Greze c f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d c - Mittelwert eier Fuktio f() im Bereich f : = f ( ) d - Differezitio ch eier Vrile i der oere oder utere Greze d d h( ) g ( ) f ( t) dt = f ( h( )) h '( ) f ( g( )) g '( ) Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Itegrlrechug Formelsmmlug Igeieurmthemtik Itegrtio durch Sustitutio f ( g( )) g '( ) d = F( g( )) Grud: die rechte Seite differeziert ch der Ketteregel ergit gerde de Itegrde. I der Pris utzt m dies so us: - Ei im Itegrd (evtl. wiederholt) vorkommeder Ausdruck g() wird durch u ersetzt (u=g()) du - Die Aleitug ch = g '( ) wird ls Merkhilfe useider d gezoge, ws j eigetlich ukorrekt ist, d du ds Symol für d Aleitug ud keie Bruch drstellt: du = g ()d - Mit dieser Beziehug wird d i du umgewdelt, mit der Sustitutio u=g() müsse ußerdem lle us dem Itegrde verschwide (otflls mit Hilfe der Umkehrfuktio =g - (u)) - Letztedlich etsteht ei eues Itegrl mit Itegrtiosvrile u. Die Sustitutio loht türlich ur, we der eue Itegrd eifcher ls der lte ist. u e Bs : e d = du ( leit ulösr!) u u u e e e e d = du = = du du u = du = d d = = u Mitsustitutio der Greze ei estimmte Itegrle: g ( ) f ( g( )) g '( ) d = f ( u) du = F( u ) = = g( ) u g ( ) u g ( ) Prtielle Itegrtio oder u ' v d = u v u v ' d Produktitegrtio ' [ ] u v d = u v u v ' d Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Prtilrüche Nullstelle vo Polyome Formelsmmlug Igeieurmthemtik - Polyome vom Grd he geu Nullstelle.... Diese sid evetuell komle ud/oder mehrfch ( Hutstz der Alger ) - Stdrdform eies Polyoms vom Grd : Q( ) = (k durch Ausklmmer des Koeffiziete ei immer erreicht werde!) - Produktdrstellug eies Polyoms i Stdrdform mit Hilfe der Nullstelle: Q( ) = ( ) ( )... ( ) = ( i ) - Nullstellesuche: is zum Grd 4 git es Formel, Grd 5 git es riziiell keie Formel mehr (Ael, 8) = Mitterchtsformel (.Sem. Lektio 4) =3,4 Crdische Formel, zu komliziert für die Awedug - Polyomdivisio: Ist eie elieige Nullstelle i vo Q() ekt, so lässt sich Q() ohe Rest durch ( - i ) teile. Bs: : ( + 3) = Rest Ds resultierede Polyom ist d im Grd um eis reduziert ( Asltug eier Nullstelle ). Seie Nullstelle sid dher eifcher zu estimme ls die vom ursrügliche Q(). i= Rtiole Futioe P( ) f ( ) = P Polyom vom Grd m, Q vom Grd Q( ) Echt geroche m , sost uecht geroche. Uecht gerochee rtiole Fuktioe lsse sich durch Polyomdivisio i ei Polyom lus eie echt gerochee rtiole Fuktio verwdel. Prtilruchzerlegug (PZ) eifche reelle Nullstelle f() sei echt gerocheer rtiol, Neer esitze Stdrdform ud reelle eifche Nullstelle: P( ) A B Z f ( ) = = (*) Q( ) Zur Bestimmug der reelle Kostte A... Z wird Gleichug (*) mit Q() durchmultiliziert. Die etstehede Polyomgleichug wird etweder durch Koeffizietevergleich gelöst (lieres Gleichugssystem) oder durch Eisetze der Nullstelle für (scheller, führt direkt uf die gesuchte A... Z). Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Prtilrüche Stmmfuktio der PZ (eifche reelle Nullstelle) Formelsmmlug Igeieurmthemtik f d A B Z ( ) = l + l l (Itegrtio der Prtilruchzerlegug ist eifch) PZ (mehrfche reelle Nullstelle) Mehrfche reelle Nullstelle, z.b. ( ) 3 Q( ) = : P( ) A A A f ( ) = = + + Q( ) 3 3 ( ) ( ) Stmmfuktio der PZ (mehrfche reelle Nullstelle) d = ( ) ( ) ( ) PZ (komlee Nullstelle) - Komlee Nullstelle köe immer zu eiem reelle qudrtische Ausdruck zusmmegefsst werde, der de Ausggsukt für die reelle Prtilruchzerlegug liefert: + + c mit Diskrimite 4c - Reeller Prtilruchstz für komlee Nullstelle: P( ) B + C f ( ) = = c c ( ) ( ) - Mehrfche komlee Nullstelle, z.b. P( ) B + C B + C f ( ) = = c c + + c ( ) ( ) ( ) Die Kostte A, A,..., B, C,..., B, C,... köe wieder etweder durch Koeffizietevergleich oder durch Eisetze eifcher Zhle für (, ±, ±, reelle Nullstelle) estimmt werde. Stmmfuktio der PZ (eifche komlee Nullstelle) B + C B C B + d = l + + c + rct + + c mit : = 4c Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Itegrltfel Gruditegrle d + + = d = l e d = e l d = (l ) d = woei , l si d = cos cos d = si t d = l cos Formelsmmlug Igeieurmthemtik 3 Rtiole Fuktioe d = rct + rth für + d = l = rth für Wurzelfuktioe + d = ( + + l( + + )) = + + rsih ( l ) d = + d = + rcsi woei , d = l( + + ) = rsih + d = l + = rcosh d = rcsi Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Itegrltfel Wikelfuktioe d = si t cos d = t cos d = si si si d = cos cos Formelsmmlug Igeieurmthemtik 4 si cos d = si + ( m + ) m + m si cos d = m+ si cos m + si cos ( m + ) m + m + si cos m m si cos eide Formel ur für m cos d = l = l t si si cos d = + d woei si ( )si si + si π d = l = l t + cos cos 4 si d = + d woei cos ( )cos cos si cos si d = cos si ( ) si d = + si d cos si cos d = + si cos ( ) cos d = + cos d d d Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Itegrltfel Formelsmmlug Igeieurmthemtik 5 Wikelfuktioe (Fortsetzug) si cos si d = + si d woei cos si cos d = + cos d woei t t d = t woei ( ) d si( ) si( + ) si si d = ( ) ( + ) woei si( ) si( + ) cos cos d = + woei ( ) ( + ) cos( ) cos( + ) si cos d = woei ( ) ( + ) Arcus- ud Arefuktioe rcsi d = rcsi + rccos d = rccos rct d = rct l + rsih d = rsih + ( ) rcosh d = rcosh rth d = rth l Eoetilfuktioe ud Logrithme e e si d = si cos + ( ) e e cos d = cos + si + ( ) e e d = e d + l d = (( + )l ) woei ( + ) Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Itegrltfel Formelsmmlug Igeieurmthemtik 6 Hyerolische Fuktioe sih d = cosh cosh d = sih th d = l(cosh ) d = sih th cosh d = th cosh d = sih sih sih d = cosh cosh d = l th sih d = rct e cosh ( ) Aweduge der Itegrlrechug Ds estimmte Itegrl liefert icht ur die Fläche uter dem Fuktiosgrhe, soder es k für eie Vielzhl vo Summierufge gewdt werde, ei dee viele uterschiedlich kleie Teile zusmmegezählt werde müsse: Bogeläge Bogelägeelemetche Bogeläge ds = d + dy = + ( y ') d s = + ( y ') d Oerfläche Oerflächeelemetche eies Rottioskörers mit Drehchse ud Kotur y(): Oerfläche ds = π y ds = π y + ( y ') d S = π y + ( y ') d Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Aweduge der Itegrlrechug Formelsmmlug Igeieurmthemtik 7 Volume eies Rottioskörers Volumeelemetche (= düe Scheie mit Dicke d, Aufschitt sekrecht zur -Achse) eies Rottioskörers mit Drehchse ud Kotur y(): dv = π y d Volume V = π y d Volume Volume eier düe Scheie mit Fläche A() ud Dicke d, die sekrecht zur -Achse steht: dv = A( ) d Gesmtvolume V A( ) d = Momet Areit Gewichtskrftmomet dm (im Uhrzeiger os.) eier ei liegede Teilmsse dm ezüglich eies Drehuktes mit -Koordite (Erdeschleuigug g i Richtug y): dm = g ( ) dm Dmit lsse sich lle mögliche Fläche- ud Liieschwerukte durch Itegrtio ereche, dere Koture durch Fuktioe y() gegee sid. Bezüglich des Schweruktes verschwidet ds Gewichtskrft- Gesmtmomet. Teilreit (=Teileergie) dw, die ei Verrückug um d vo Krft F geleistet wird: dw = F d (Sklrrodukt!) Dmit lsse sich lle mögliche Gesmteergie durch Itegrtio usreche, ei dee sich etweder die Krft lägs des Weges verädert, oder ei dee komlizierte, gekrümmte Wege usgeführt werde, oder ei dee viele uterschiedlich große Teilreite verrichtet werde müsse. Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Mtrize Mtri, Mtrimultiliktio Formelsmmlug Igeieurmthemtik m Mtri A: rechteckiges Zhleschem mit Zeile, m Slte ik : Elemet vo A, lso die Zhl i der i-te Reihe ud k-te Slte Mtrimultiliktio: A( m) B(m ) = C( ) ch dem Schem Zeile Slte (Sltezhl vo A muss gleich sei Zeilezhl vo B!): m. oder c ik = il i lk { k l= 4 Vektore köe ls eisltige Mtrize ufgefsst werde. Bei der Multiliktio A muss lso die Sltezhl vo A mit der Komoetezhl vo üereistimme. 8 Recheregel - Multiliktio Mtri mit Zhl geschieht elemetweise - Additio Mtri mit Mtri geschieht elemetweise - Multiliktio A B ist icht kommuttiv: A B B A. Bei ichtqudrtische Mtrize k eies der eide Produkte gr icht geildet werde A B C = A B C - ( ) ( ) - A ( B + C) = A B + A C - r A B = ( r A) B = A ( r B) = r ( A B ) Defiitioe - trsoierte Mtri A T : Zeile ud Slte werde vertuscht. - qudrtische Mtri: Zeilezhl = Sltezhl - symmetrische Mtri: A T = A - iverse Mtri: A - : A - A = A A - = (Eiheitsmtri). Die Iverse ist ur ei qudrtische Mtrize defiiert ud sielt ei der Lösug lierer Gleichugssysteme eie etscheidede Rolle. Die Berechug ist ufwedig. Determite det A eier qudrtische Mtri (= Zhl) - Mtri: det A : = - 33 Mtri: Srrusregel - Mtri: Rückführug uf (-)(-)-Uterdetermite ( Llcescher Etwicklugsstz ), sehr recheufwedig - Mit Determite ud Uterdetermite (sog. Adjukte) k die Iverse A - erechet werde. Ds Verfhre ist jedoch vom Recheufwd her ikzetel. - Ist det A =, so eistiert die Iverse A - icht. Die Zeile oder Slte vo A sid d icht lier uhägig. Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Liere Gleichugssysteme Formelsmmlug Igeieurmthemtik 9 Gußelimitio. Brige A durch Elemetrumformuge (= Additio oder Sutrktio des Vielfche eier Zeile mit dem Vielfche eier dere Zeile) i oere Dreiecksgestlt (Vorwärtselimitio): Suche Zeile, die icht mit Null egit ud mrkiere sie Nulle durch Elemetrumformuge mit mrkierter Zeile die. Slte ller dere Zeile (sofer ötig) ch - Schritte ist oere Dreiecksform erreicht (estehed us de mrkierte Zeile). Löse etstdees gestffeltes Gleichugssystem vo ute ch oe (Rückwärtssustitutio) Beisiel: c 3 + Lösug : 3 = ; = = 8 3 = = 3 3 Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Liere Gleichugssysteme Formelsmmlug Igeieurmthemtik Rg eier Mtri, freie Prmeter, llgemeie homogee Lösug, sezielle ihomogee Lösug, llgemeie ihomogee Lösug Bei der Gußelimitio eies llgemeie Gleichugssystems ( ) ( ) ( ) A m = m (Hochide = Dimesio,m elieig) k es vorkomme, dss i eiem Schritt lle Zeile mit Null egie. Es ergit sich d eie uterrochee Digolreihe, eiige Treestufe werde reiter (rote Blöcke im utere Bild). Außerdem köe mehr oder weiger Zeile ls Uekte vorkomme. Ds Resultt der Gußelimitio wird i jedem Fll so ussehe: Ds Gleichugssystem ist ur d widersruchsfrei, we der grüe Block lediglich us Nulle esteht. Die Lösug k d i Schritte erfolge: llg. homogee Lösug sez. ihomogee Lsg. - Allgemeie Lösug der homogee Gleichug A O =. Dzu werde die rote Blöcke mit Vorzeicheumkehr ch rechts gestellt, der schwrze Block wird gestriche ud es erfolgt wie gewoht die Rückwärtssustitutio. Die sich ergeede llgemeie homogee Lösug O ist -komoetig ud ethält die freie Prmeter: O = λ c + λ c λ r c r - Eie sezielle Lösug der ihomogee Gleichug A S =. Dzu werde lle λs Null gesetzt (die rote Blöcke werde gestriche), uf der rechte Seite wird ur der Schwrze Block erücksichtigt. S ist wie O -komoetig (die zu Null gesetzte freie Prmeter λ werde i die Lösug hiei geschriee, z.b. die Stelle 3 ud 4). - Die llgemeie Lösug der ursrügliche ihomogee Gleichug ist d eifch: = O + S Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Liere Gleichugssysteme Formelsmmlug Igeieurmthemtik Rg eier Mtri Beisiel 5 Gleichuge mit 4 Uekte oder zusmme gefsst : Rg der Mtri ist ur 3, ur so viele uhägige Iformtioe stecke im Gleichugssystem, d die Zeile ud 3 us dere Zeile durch Lierkomitio folge (z.b. Zeile = Zeile + 5 Zeile4). Also k m uch ur 3 Uekte, ud 3 estimme, 4 leit uestimmt ud wird zum freie Prmeter λ umgetuft. Ds Gleichugssystem ist widersruchsfrei, d der grüe Block us Nulle esteht. 3 λ = 4 llg. homogee Lsg. 4 = 4 3 = λ,5 3,5 O = λ = + λ = λ, =,5λ I O wird der freie Prmeter λ = 4 mit hieigeschriee. 3 sez. ihomogee Lsg. 3 4 = 4 3 = 3, ,5 S = = = 6,5 3 3 = 6,5 I S wird eeflls der freie Prmeter λ = 4 = mit hieigeschriee. Gesmtlösug ist = O + S Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Formelsmmlug Igeieurmthemtik Berechug der iverse Mtri ch Guß-Jord Guß-Jord- Verfhre zur Berechug vo A -. Schreie rechts ee A die etsrechede Eiheitsmtri. Elimiiere A vorwärts, mche jedes Digolelemet uf der like Seite zu Eis, wede lle Elemetrumformuge uch uf die rechte Seite 3. Elimiiere rückwärts, is liks die Eiheitsmtri erscheit. Die rechte Seite ist d ds Ergeis A - Beisiel: c,5, 5 /( ),5,5 + 3 c d 3 c e 7 5 c,5 d d f 5 4 e e Ergeis ud Kotrolle: f 5 4 e 7 5 d Im oere rote Block sid die Ergeiszeile der Rückwärtselimitio ur so sortiert, dss liks die Eiheitsmtri etsteht. Im utere Block wurde die Ausggsmtri liks higeschriee. We m de Block liks ute mit dem rechte oere ch dem Flk-Schem multiliziert muss ute rechts die Eiheitsmtri erscheie. Die lue Formel ht der gehede Igeieur im Kof! Prof. Dr. Elmr Müller-Horsche Komlee Zhle Formelsmmlug Igeieurmthemtik 3 komlee Eiheit j = krtesische ud olre Drstellug komlee Zhl z = + j y, y reell Re l teil Im giär teil Betrg z : = + y : = r = Pukt (, y) i der komlee Eee y Phse, Argumet rg( z) : = ϕ mit tϕ = Polrdrstellug z = r + j Euler Formel = r e ( cosϕ siϕ ) jϕ kojugiert komle z = jy = r e ϕ * : j Recheregel j( ϕ θ )
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