Praktikum ETiT. -Grundlagen der Elektrotechnik-

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Prof. Dr.-Ing. habil. Dr. h.c. Andreas Binder Praktikum ETiT -Grundlagen der Elektrotechnik- Versuch 2 Kapazitäten & Induktivitäten Praktikum: Grundlagen der Elektrotechnik 2 / 2 Kapazitäten & Induktivitäten
Prof. Dr.-Ing. habil. Dr. h.c. Andreas Binder Praktikum ETiT -Grundlagen der Elektrotechnik- Versuch 2 Kapazitäten & Induktivitäten Praktikum: Grundlagen der Elektrotechnik 2 / 2 Kapazitäten & Induktivitäten Inhaltsverzeichnis 2 KAPAZITÄTEN ND INDKTIVITÄTEN DER KONDENSATOR Der Plattenkondensator Messung der Kapazität durch Spannungsänderung Bestimmung der Kapazität aus der Zeitkonstanten DIE ELEKTROMAGNETISCHE SPLE Die Luftspule Messung der Induktivität über die Zeitkonstante ORTSKRVEN KOMPLEXER WIDERSTÄNDE ND LEITWERTE ORTSKRVEN ND BODE-DIAGRAMM VON ZWEIPOLEN... 5 VERSCHSDRCHFÜHRNG PLATTENKONDENSATOR MIT VARIABLEM PLATTENABSTAND/DIELEKTRIKM, ELEKTROLYT-KONDENSATOR Messung der Kapazität des Plattenkondensators in Luft (ε r ) bei variablem Platten abstand x Messung der Kapazität des Plattenkondensators bei variablem Dielektrikum (ε r ) und festem Plattenabstand x Messung der Kapazität eines Elektrolyt-Kondensators RC-GLIED: ZEITKONSTANTE, FREQENZGANG, STROM-ORTSKRVE, BODE-DIAGRAMM Bestimmung der Kapazität aus der Zeitkonstanten Bestimmung der Ortskurve I(ω), Vergleich mit der Rechnung Bestimmung des BODE-Diagramms mit Amplituden- und Phasengang RL-GLIED: ZEITKONSTANTE, FREQENZGANG, STROM-ORTSKRVE, BODE-DIAGRAMM Bestimmung der Induktivität aus der Zeitkonstanten Bestimmung der Ortskurve I(ω), Vergleich mit der Rechnung Bestimmung des BODE-Diagramms mit Amplituden- und Phasengang... 3 Praktikum: Grundlagen der Elektrotechnik 2 / 3 Kapazitäten & Induktivitäten 2 Kapazitäten und Induktivitäten 2. Der Kondensator Die Ladungsmenge Q (gemessen in A. s C (Coulomb)) eines (linearen) Kondensators, die sich mit gleicher Menge, aber entgegen gesetzter Polarität auf den beiden Elektroden des Kondensators befindet, und die Spannung (gemessen in V (Vol) zwischen den Elektroden des Kondensators sind einander proportional: Q C.. (2.-) Der Proportionalitätsfaktor ist die Kapazität C des Kondensators, gemessen in A. s/v C/V F (Farad). Die zeitliche Änderung der Ladungsmenge an einem bestimmten Ort (Ladungsfluss durch eine Fläche, z. B. den Zuleitungsquerschnitt zu den Kondensatorelektroden) ist der elektrische Strom i, gemessen in A (Ampère). dq( i( (2.-2) dt Differenziert man daher Gleichung (2.-) nach der Zeit, so erhält man die Strom-Spannungs- Beziehung an der Kapazität. du( dc( i C ( C + u (2.-3) dt dt Die Kleinbuchstaben i und u deuten an, dass Strom und Spannung zeitlich veränderlich sind, also KEIN Gleichstrom und KEINE Gleichspannung. Dabei ist i C der Strom, der in die eine Elektrode des Kondensators hinein- bzw. aus der anderen heraus fließt. Fazit: Sowohl eine zeitliche Änderung der Spannung u( als auch eine zeitlich veränderliche Kapazität des Kondensators C( rufen bei konstanter Spannung eine Ladungsänderung und damit einen Strom hervor. Ist die Kapazität konstant, so kann der Kondensator keinen Strom führen, wenn eine Gleichspannung an seinen Elektroden anliegt: Er sperrt bei Gleichspannung. 2.. Der Plattenkondensator Bei dieser Praktikumsübung stehen zwei leitfähige Platten und eine Kapazitätsmessbrücke zur Verfügung. Die Kapazität des Plattenkondensators kann durch Veränderung verschiedener Parameter beeinflusst werden. a) Plattenabstand x b) relative Dielektrizitäskonstante (verschiedene Materialien, die eingeschoben werden) c) Mehrschichtkondensator (mehrere Materialien werden eingeschoben) d) seitliche Verschiebung y der Platten (eine Art Drehkondensator) Die Varianten a und b werden im Versuch durchgeführt. Praktikum: Grundlagen der Elektrotechnik 2 / 4 Kapazitäten & Induktivitäten a) Verändern des Plattenabstandes Die Kapazität C ( Betriebskapazität ) eines Plattenkondensators (Plattenfläche A) mit variablem Plattenabstand x beträgt unter Vernachlässigung des Streufeldes und eventuell vorhandener Erdkapazitäten - (siehe Vorlesung Grundlagen der Elektrotechnik ) A C ε ε r (2..-) x 2 In (2..-) bedeuten ε V. s/(a. m) die Dielektrizitätskonstante des Vakuums (Permittivitä und ε r die relative Dielektrizitätszahl (relative Permittivitä des verwendeten Dielektrikums zwischen den Elektroden. Die Kapazität sinkt mit steigendem Plattenabstand nach einer Hyperbelfunktion und ist beim idealen Abstand Null theoretisch unendlich groß. Allerdings bedeutet ein Berühren der Platten einen galvanischen Kontakt, so dass die Ladungsmengen abfließen können und die kapazitive Eigenschaft verschwindet. Abweichungen von der Hyperbelform dieser Funktion sind auf das elektrische Streufeld an den Plattenrändern und auf Kapazitäten zwischen den Platten und dem auf Erdpotential ( Masse ) liegenden metallischen Flächen im Versuchsaufbau (Erdkapazitäten) zurückzuführen. Bild 2..-: Abnahme der Kapazität C eines Kondensators bei steigendem Plattenabstand x (links) und Zunahme mit steigender relativer Dielektrizitätszahl (rechts) b) Verändern der Eigenschaften des Dielektrikums (ε r ) Materialien mit unterschiedlichem ε r und unterschiedlicher Dicke x werden zwischen den Platten eingeschoben. Durch eine Vergleichsmessung mit dem Luftkondensator kann entweder ε r oder x bestimmt werden. Auch hier können Abweichungen vom linearen Verlauf der Funktion C ~ ε r, wie (2..-) ergibt, durch Randstreufelder und Erdkapazitäten erklärt werden Messung der Kapazität durch Spannungsänderung Wird ein Kondensator mit der Kapazität C N mit der Spannung aufgeladen, so erhält er eine Ladung Q C. N. Schließt man parallel zu diesem aufgeladenen Kondensator, nachdem man die Spannungsquelle entfernt hat, einen zweiten ungeladenen Kondensator mit der Kapazität C X an, so sinkt die Spannung durch den Ladungsausgleich auf einen Wert ' ab. Durch Kenntnis der Kapazität C N und durch Messung von und ' lässt sich die Kapazität C X leicht errechnen. Es gilt Praktikum: Grundlagen der Elektrotechnik 2 / 5 Kapazitäten & Induktivitäten Q C N. (C N + C X ). ', (2..2-) da die Ladung Q konstant bleibt. Daraus folgt C X C N. ( - ') / '. (2..2-2) 2..3 Bestimmung der Kapazität aus der Zeitkonstanten Wird ein Kondensator mit der konstanten Kapazität C über einen Widerstand R geladen, so steigt die Spannung u C am Kondensator C exponentiell an. Mit (2.-3) und dem Ohm schen Gesetz folgt für die Schaltung gemäß Bild 2..3-: u( R i( + u ( (2..3-) u C t C ( i( dt (2..3-2) C di ( du( + i( (2..3-3) dt RC R dt Bild 2..3-: R-C-Glied Anfangsbedingungen sind, dass zur Zeit t die Spannung u( als Gleichspannung zugeschaltet wird (also ist du/dt ) und der Kondensator zu Beginn ungeladen ist: u C (). Diese Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten di( + i( dt RC (2..3-4) besitzt die homogene Lösung i h t / T ( C e mit der Zeitkonstanten T R C. (2..3-5) Die partikuläre Lösung i p ( ist wegen der verschwindenden rechten Seite Null, so dass die Gesamtlösung lautet: i( i ( + i ( i (. Die Anfangsbedingung ergibt mit h p u C ( ) und u( t ) R i() + uc () R i() h für die Konstante C Praktikum: Grundlagen der Elektrotechnik 2 / 6 Kapazitäten & Induktivitäten ( i ) C e / R C / R. (2..3-6) Die Lösung der Differentialgleichung lautet folglich für den Strom t / T i( e. (2..3-7) R Der Strom springt von Null auf /R, während die Spannung am Kondensator Null ist, und klingt dann exponentiell mit der Zeitkonstante T ab. Für die Spannung am Kondensator gilt: u C ( t t uc () + i( dt + C C t / T ( e ) i( dt (2..3-8) Nach der Zeit t ist der Kondensator aufgeladen: u C ( ) und der Ladestrom i( ) ist Null. Die Ladung beträgt Q C an den Elektroden. Wird das R-C-Glied von der Spannungsquelle getrennt, so klingt die Kondensatorspannung exponentiell mit derselben Zeitkonstante T ab. Anfangsbedingung ist: u C (), während u( ist. Über diesen Kurzschluss kann der Entladestrom des Kondensators fließen. Mit der allgemeinen Stromlösung t / T i( i ( + i ( i ( und i ( C e folgt: Q h p h t 2 h 2 t / T Q C i( dt T C2 e TC2 C (2..3-9) T CR R Der Entladestrom fließt entgegengesetzt zum Ladestrom und hat daher negatives Vorzeichen: t / T i( e (2..3-) R Die Spannung am Kondensator ist somit exponentiell abklingend u C t t / T t / T ( uc () + i( dt + e e C. (2..3-) Die Zeitkonstante T beim Laden und beim Entladen ist gleich groß. Kennt man also den Widerstand R, so kann man die Kapazität C aus dem zeitlichen Verlauf der Spannung u C ( bestimmen. Wird an den Zweipol des Bildes eine Spannung u( mit einem zeitlichen Rechteckverlauf gelegt (Bild ), so entsteht durch den Wechsel von Auf- und Entladevorgängen eine Spannung u C ( am Kondensator C, deren Zeitverlauf in Bild gezeigt wird. Zwischen der maximalen Spannung 2 und dem Spannungsminimum herrscht die einfache Beziehung 2. e -τ /T. (2..3-2) Werden die Spannungen und 2 z.b. mittels eines Oszilloskops gemessen, so kann die Zeitkonstante T durch Auflösen der Gleichung (2..3-3) nach T errechnet werden. T R. C τ /ln( 2 / ). (2..3-3) Praktikum: Grundlagen der Elektrotechnik 2 / 7 Kapazitäten & Induktivitäten Bei geeigneter Wahl der Pulsparameter τ und Δ τ (Tastverhältnis und Pulsfrequenz) kann also die Kapazität C ziemlich gut bestimmt werden. C τ R ln( 2 / ) (2..3-4) Bild : Spannung am Kondensator u C beim Anlegen einer Rechteckspannung u an das R-C-Glied 2.2 Die elektromagnetische Spule Die magnetische Flussverkettung Ψ (gemessen in V. s), die in einer stromdurchflossenen Spule erzeugt wird, und der die Spule durchfließende Strom I sind einander proportional. Ψ L I (2.2-) Der Proportionalitätsfaktor ist die Induktivität L der Spule, gemessen in (V. s/a H (Henry)). Der Strom I erregt nach dem Ampère schen Gesetz eine magnetische Feldstärke H (gemessen in A/m), die je nach Material des Spulenkernes, der die Windungen trägt, einer magnetischen Flussdichte (gemessen in Vs/m 2 T (Tesla)) B μ μr H (2.2-2) proportional ist. Der magnetischen Fluss Φ (gemessen in V. s Wb (Weber)) pro Windung ist Φ B A. (2.2-3) Dabei ist A die von jeder Windung aufgespannte Fläche, wobei in (2.2-3) der Einfachheit halber angenommen ist, dass B über der Fläche A räumlich konstant ist. Wird von einer Spule mit N Windungen ausgegangen, so ist der mit ALLEN N Windungen verkettete Gesamtfluss die bereits erwähnte Flussverkettung Praktikum: Grundlagen der Elektrotechnik 2 / 8 Kapazitäten & Induktivitäten Ψ N Φ. (2.2-4) Die zeitliche Änderung der Flussverkettung induziert dem Faraday schen Induktionsgesetz zufolge eine Spannung in den Windungen der Spule. Induzierte Spannung je Windung: u i ( dφ( / dt (2.2-5) Induzierte Spannung für die gesamte Spule (alle N Windungen in Serie): u i ( N dφ( / dt dψ ( / dt (2.2-6) Der Ohm sche Innenwiderstand der Spule ist durch den Widerstand R des Leitermaterials der Windungen bestimmt. Die an den Klemmen der Spule außen angelegte Spannung zur Aufrechterhaltung des Stromflusses heißt u(. Somit gilt für die Bestimmung des Stromflusses, dass die von außen angelegte Spannung und die induzierte Spannung gemeinsam den Strom treiben: u( + ui ( i R (2.2-7) Mit (2.2-) in (2.2-6) folgt: di dl u( ui ( + i R L + i + i R (2.2-8) dt dt Fazit: Sowohl eine zeitliche Änderung des Stromes als auch eine zeitlich veränderliche Induktivität der Spule bei konstantem Strom i I rufen eine Flussänderung und damit auch eine Spannung hervor. Eine ideale Spule besteht aus widerstandslosem Leitermaterial (R ). Ist L zeitlich konstant, so gilt für die ideale Spule di u ( L. (2.2-9) dt Ist L von i und u unabhängig, also ein konstanter Parameter, so ist die Spule linear. Eine Verdopplung von di/dt ergibt auch eine Verdopplung von u usw. Ändert sich der Strom sinusförmig, so ändert sich auch die Spannung nach einer trigonometrischen Funktion (f: Frequenz des sinusförmigen Zeitsignals von Strom und Spannung, gemessen in /s Hz (Hertz), ω 2πf : elektrische Kreisfrequenz, gemessen in /s). d( Iˆ sin( ω) u( L ωl Iˆ cos( ω ˆ cos( ω (2.2-) dt Mit der komplexen Rechnung ( j ) werden die trigonometrischen Funktionen sin(.) und cos(.) durch komplexe Zahlen für Strom und Spannung ersetzt, was die Rechnung vereinfacht. u( ˆ cos( ωt + ϕ) 2 cos( ωt + ϕ) Re { } { } j ( ω t + ϕ ) j ϕ j ω t 2 e Re e 2 e Praktikum: Grundlagen der Elektrotechnik 2 / 9 Kapazitäten & Induktivitäten jϕ u( e (2.2-) Aus (2.2-) wird mit dem komplexen Strom i( 2I sin( ω i( I I e jπ / 2 2I cos( ωt π / 2) Re ji { } j π / 2 Ie e j ω 2 t (2.2-2) die komplexe Gleichung jω L I. (2.2-3) Lineare Spulen können somit durch die Reaktanz (gemessen in Ω (Ohm)) X ωl (2.2-4) beschrieben werden Die Luftspule Luftspulen (Kern ist amagnetisch, also z. B. aus Luf verhalten sich bis zu höchsten Frequenzen weitgehend linear bezüglich der Frequenz. Wird die Spule jedoch von einem nichtlinearen Materialkern (z.b. Eisenverbindungen) ausgefüllt, bei dem sich B(H) nichtlinear ändert, so wird bei sinusförmigem Spulenstrom und damit sinusförmigem H der zeitliche Verlauf von B und damit von Ψ und u i. a. sich nicht mehr sinusförmig ändern. Die Spule kann dann nicht mehr durch eine konstante Größe X ωl beschrieben werden, und die komplexe Rechnung KANN NICHT mehr verwendet werden. Aus der Vorlesung Grundlagen der Elektrotechnik ist die mittlere Induktion B einer langen, vom Strom I durchflossenen Luftspule mit der Windungszahl N und der Länge l bekannt. B I μ N (2.2.-) l Die magnetische Flussverkettung Ψ durch alle N Windungen der Spule ergibt mit der Spulenquerschnittsfläche A I Ψ N Φ N B A N μ N A (2.2.-2) l Nach der Definitionsgleichung (2.2-) für die Induktivität L als Proportionalitätsfaktor zwischen Stromstärke I und Gesamtflussverkettung Ψ erhält man Ψ L I μ N 2 A l. (2.2.-3) Diese Formel gilt jedoch in erster Linie nur für sehr lange und vor allem nur für einlagig bewickelte Spulen. Befinden sich mehrere Lagen Draht übereinander, kommt es zur Erhöhung der Gesamtin- Praktikum: Grundlagen der Elektrotechnik 2 / Kapazitäten & Induktivitäten duktivität L, da der Fluss, der von einer Windung hervorgerufen wird, auch durch die darüber und darunter liegenden Drahtschleifen fließt. Beispiel 2.2.-: Beträgt z.b. die Lagendicke einer langen Luftspule % bzw. % des Gesamtdurchmessers der Luftspule, so erhöht sich die Gesamtinduktivität der Spule um etwa % bzw.7 % gegenüber Formel (2.2.-3). Bei sehr dicken Spulen, deren Außendurchmesser doppelt so groß wie der Innendurchmesser ist, steigt L sogar um nahezu 4 % gegenüber (2.2.-3) Messung der Induktivität über die Zeitkonstante An- und Abschaltvorgänge bei einer Spule in der Schaltung nach Bild werden in der Vorlesung Grundlagen der Elektrotechnik behandelt. Bild : R-L-Glied Für die reale lineare Spule (Ohm scher Widerstand R L, L konst.) gilt wenn sie in Serie mit dem Ohm schen Widerstand R geschaltet ist - gemäß (2.2-8) di di u( L + i ( RL + R ) L + i R. (2.2.2-) dt dt Beim Anschalten einer Gleichspannung u( ist die Lösung der linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten di R + i ( ) dt L L und der Anfangsbedingung i() die Summe aus homogener Lösung ih ( Ce und partikulärer Lösung i p ( K konstant, da auch die rechte Seite konstant ist. Einsetzen von i p ( in ( ) ergibt: K / R. ( ) t / T t / T h p + R Anpassen der Lösung i( i ( + i ( C e ( / ) ( i ) C e + ( / R) C / R an die Anfangsbedingung liefert C. ( ) und damit die Lösung für den Ladestrom der Spule Praktikum: Grundlagen der Elektrotechnik 2 / Kapazitäten & Induktivitäten t / T ( e ) i( ( ) R mit der Zeitkonstante T L / R. ( ) Nach unendlich langer Zeit fließt der Gleichstrom i I /R. Beim Wechsel des Schalters S in die Stellung Ab wird das L-R-Glied kurz geschlossen und der Strom in der Spule klingt exponentiell ab. Es gilt wieder die Differentialgleichung (2.2.2-), nun aber mit der Anfangsbedingung i() I, während die Spannung u( ist. Damit ist die partikuläre Lösung Null, und es verbleibt für den t / T Strom die Lösung i ih + i p ih C2e. Die Bestimmung von C 2 erfolgt mit der Anfangsbedingung ( 2 2 i ) C e / R C / R ( ) Der abklingende Spulenstrom lautet t / T i( e. ( ) R Wird nun statt des Schalters S an die Klemmen und 2 in Bild eine rechteckförmige Spannung u( mit demselben Zeitverlauf wie in Bild gelegt, so folgt die Spannung u R ( einem zeitlichen Verlauf, der in Bild beschrieben ist. Durch den Messwiderstand R, der zur oszillographischen Aufnahme der der Stromstärke i( proportionalen Spannung u R ( u R ( R i( ( ) dient, verkleinert sich die Zeitkonstante T der Exponentialfunktion zu T L/(R + R L ). (2.2.2-) Die maximal erreichbare Spannung ' am Widerstand R ergibt sich, da die Induktivität L dann von Gleichstrom durchflossen wird und daher keinen Spannungsfall mehr bewirkt, aus der Spannungsteilerregel: R (2.2.2-) R + R L Das Verhältnis von 2 und in Bild wird dank der Exponentialfunktion 2 τ / T e, ( ) woraus sich die Zeitkonstante Praktikum: Grundlagen der Elektrotechnik 2 / 2 Kapazitäten & Induktivitäten T τ ( ) ln( 2 / ) und die Induktivität R + RL L τ ( ) ln( 2 / ) leicht bestimmen lässt. Wieder wird bei diesen Berechnungen eine Luftspule vorausgesetzt. Bei nichtlinearen Spulenmaterialien werden natürlich keine Exponentialfunktionen mehr auftreten. Bild : Spannungsverlauf u R ( am Widerstand R des R-L-Glieds bei rechteckförmiger Spannung u( am Eingang 2.3 Ortskurven komplexer Widerstände und Leitwerte Bei Speisung von Ohm schen, kapazitiven und induktiven Netzwerken mit sinusförmiger Spannung sind auch die Ströme sinusförmig, wenn die Widerstände, Induktivitäten und Kapazitäten konstant sind. In manchen Fällen will man wissen: Wie wirkt sich eine Änderung der Kreisfrequenz ω 2πf (f: Frequenz des sinusförmigen Zeitsignals von und I ) auf die Impedanz eines Zweipols aus? Zur Veranschaulichung einer solchen Abhängigkeit zeichnet man die Kurve auf, die von der Spitze des Impedanz-Operators Z in der komplexen Ebene durchlaufen wird, wenn die veränderliche Größe verschiedene Werte annimmt. Eine solche Kurve nennt man Ortskurve. a) Geraden als Ortskurven: Als Beispiel hierzu betrachten wir eine R-L-Reihenschaltung und stellen ihre Ortkurve dar, wenn ω verändert werden. Praktikum: Grundlagen der Elektrotechnik 2 / 3 Kapazitäten & Induktivitäten Z R + jωl (2.3-) Der Realteil ist konstant unabhängig von der Frequenz, während der Imaginärteil linear mit der Frequenz wächst. Die Spitze des komplexen Zeigers Z beschreibt somit als eine Gerade. In Bild 2.3- ist die komplexe Ebene dargestellt, wobei die x-achse die Re-Achse und die y-achse die Im- Achse darstellt. Die Gerade als Orstkurve von Z ist die Halbgerade g, die bei P beginnt und nach oben verläuft. Der Punkt P hat die Koordinaten (a/) (R/), ein willkürlich gewählter Punkt P die Koordinaten (a/y) (R/ωL). Bild 2.3-: Die Inversion der Gerade g ergibt den kleinen Kreis (Mittelpunkt M, Punkte, P, P auf dem Kreis) Fazit: Die Ortskurve g hat ihren Fußpunkt auf der reellen Achse ( ω ) und ist eine Halbgerade, die parallel zur imaginären Achse liegt. Ortskurven, die die Frequenzabhängigkeit einer Impedanz Z oder Admittanz /Z Y darstellen, sind für die elektrische Nachrichtentechnik besonders interessant. b) Kreise als Ortskurven: Die R-L-Reihenschaltung hat eine Impedanz Z(ω), deren Ortskurve eine Halbgerade ist. Bildet man nun den Kehrwert Y /Z, so entsteht als Ortskurve für alle möglichen Werte Y(ω) ein Halbkreis mit dem Durchmesser G /R. In Bild 2.3- ist dies der Kreis durch die Punkte und P. Man sagt, dass die Y-Ortskurve durch Inversion aus der Z-Ortskurve entsteht (und umgekehrt: die Z- Ortskurve entsteht durch Inversion aus der Y-Ortskurve). Y Z R + jωl (2.3-2) Allgemein gilt: die Inversion eines Kreises ergibt wiederum einen Kreis. Hierbei werden Geraden als Sonderfall eines Kreises (mit unendlich großem Radius) angesehen: jeder Kreis, der durch den Nullpunkt der Gauß schen komplexen Zahlenebene geht, geht durch Inversion in eine Gerade über (und umgekehr. c) Beweis: Durch Inversion einer Geraden entsteht ein Kreis Im Folgenden wird gezeigt, dass die Inversion der Geraden g den Kreis durch die Punkte und P ergibt. Inversion bedeutet dabei gemäß (2.3-) und (2.3-2), dass jede Strecke P, die dem Zeiger Z entspricht, in deren Kehrwert Praktikum: Grundlagen der Elektrotechnik 2 / 4 Kapazitäten & Induktivitäten P (2.3-3) P überführt wird. Dies entspricht der Kehrwertbildung Y. (2.3-4) Z Gemäß Bild 2.3- gil
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