Zur Dynamik von klassischen Heisenberg-Systemen:

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Zur Dynamik von klassischen Heisenberg-Systemen: Klassen integrabler Systeme und symplektische Integratoren für nicht integrable Systeme Diplomarbeit Robin Steinigeweg Fachbereich Physik Universität Osnabrück
Zur Dynamik von klassischen Heisenberg-Systemen: Klassen integrabler Systeme und symplektische Integratoren für nicht integrable Systeme Diplomarbeit Robin Steinigeweg Fachbereich Physik Universität Osnabrück April 00 Inhaltsverzeichnis Einleitung Grundlagen 6 Integrabilität von Heisenberg-Systemen. Definitionen Liouvillescher Satz über integrable Systeme Erhaltungsgrößen. Ordnung Erhaltungsgrößen. Ordnung Gleichförmige Kopplung Integrabilität von Teilsystemen Heisenberg-Graphen Gleichförmige Zerlegung er-kette Zeitentwicklung Äußeres Magnetfeld Ljapunov-Exponent Definition Numerische Berechnung Geodäten Ergebnisse Symplektische Integratoren 9. Zerlegung in integrable Systeme Zerlegung von Exponentialoperatoren Eigenschaften des Verfahrens Ergebnisse Gesamtenergie Vergleich mit exakten Lösungen Laufzeiten Zusammenfassung 7 A Anhang 7 A. Poisson-Klammer zwischen Skalarprodukten A. Vektor-Gleichungen A. Zusammenhängende Graphen A. Exponentialdarstellung des Flusses A. Zerlegung von Exponentialoperatoren A.6 Übersicht Heisenberg-Graphen I Bezeichnungen N Menge der natürlichen Zahlen Z Menge der ganzen Zahlen Q Menge der rationalen Zahlen R Menge der reellen Zahlen H Hamilton-Funktion E Erhaltungsgröße V Vektorfeld F Fluss f Abbildung P Phasenraum n Zahl der Freiheitsgrade in einem Hamiltonschen System N Zahl der klassischen Spins t Zeit s = (s, s, s ) klassischer Spin S = (S (), S (), S () ) klassischer Gesamtspin {, } Poisson-Klammer I Einheitsmatrix J Kopplungsmatrix D Drehmatrix ω Drehachse B Magnetfeld C, c Konstante µ, ν, λ, κ Indizes A, B, M Mengen von Indizes M E Kantenmenge M V Knotenmenge B Baum Λ Ljapunov-Exponent T transponiert. Norm g metrischer Tensor ϕ, ϑ Winkel Einleitung In den letzten Jahren ist die gezielte Synthese einer Vielzahl magnetischer Moleküle gelungen, in denen nur wenige paramagnetische Ionen ( Spins ) miteinander wechselwirken. Die chemische Struktur dieser Moleküle erlaubt es, die magnetischen Eigenschaften einzelner Moleküle zu beobachten: Die paramagnetischen Ionen sind in eine organische Matrix eingebettet und von großen Liganden-Komplexen umgeben, so dass die Wechselwirkung zwischen benachbarten Molekülen vernachlässigbar gering ist. Durch die Messung an einer makroskopischen Probe wie einem Pulver oder einem Kristall werden daher die magnetischen Eigenschaften eines Ensembles wechselwirkungsfreier identischer Moleküle erfasst. Magnetische Moleküle stellen nicht nur nahezu ideale Laborsysteme dar, um grundlegende Fragen zum Magnetismus zu untersuchen, sondern eignen sich auch für viele Anwendungen in der Nanotechnologie, die oftmals als Schlüsseltechnolgie des. Jahrhunderts gefeiert wird. Umso wichtiger ist es, geeignete theoretische Modelle und Simulationsverfahren zu entwickeln, mit denen sich magnetische Moleküleigenschaften beschreiben und vor allem voraussagen lassen. Obwohl der Ursprung magnetischer Eigenschaften in der Quantenmechanik verwurzelt ist, liefern klassische Spin-Modelle erstaunlich gute Ergebnisse. So sind mit Hilfe des klassischen Heisenberg-Modells statische Eigenschaften wie die magnetische Suszeptibilität oder die spezifische Wärme berechnet worden, die selbst für kleinste Moleküle in guter Übereinstimmung mit den experimentellen Daten stehen [] []. Auch wenn die klassische Beschreibung bestimmten Grenzen unterliegt, so stellt diese Beschreibungsweise in vielen Fällen die derzeit einzige Möglichkeit dar, überhaupt Aussagen über statische oder dynamische Eigenschaften zu machen []. Die Neutronenstreuung gilt bis heute als die vielseitigste Methode für die Untersuchung magnetischer Materialien. Da der Neutronenstreuquerschnitt eng mit der dynamischen Spin-Spin-Korrelationsfunktion verknüpft ist, spielt die Dynamik von klassischen Spin-Modellen eine wichtige Rolle [] []. Ein System von N klassischen Spins stellt ein Hamiltonsches System mit einem N-dimensionalen Phasenraum (mit N Freiheitsgraden ) dar. Für ein solches System ist der Begriff integrabel über den Liouvilleschen Satz definiert, nach dem in integrablen Systemen N unabhängige und im Sinne der Poisson-Klammer vertauschbare Erhaltungsgrößen existieren []. Für integrable Systeme lassen sich sogenannte Wirkungs- und Winkelvariablen I µ und ϕ µ finden, so dass I µ = H = 0 und ϕ µ = H = ω µ = const. für µ =,..., N. () ϕ µ I µ Deswegen sind die Bewegungsgleichungen eines integrablen Systems explizit lösbar, sofern sich die Integrationen ausführen lassen, die für die Definition dieser Variablen notwendig sind []. Da integrable Systeme vergleichsweise selten sind, ist es wichtig, möglichst viele Beispiele zu finden, um Vermutungen über größere Systemklassen wie die nicht integrablen Systeme überprüfen zu können. Die Charakterisierung der Klasse IS aller integrablen Spin-Systeme stellt sich als schwer heraus und ist nach wie vor ein ungelöstes Problem. Dies motiviert die Suche nach Klassen von integrablen Spin-Systemen und Kriterien für Integrabilität. Ein Großteil der veröffentlichten Arbeiten beschäftigt sich lediglich mit speziellen Beispielen und numerischen Fallstudien [] []. In dieser Arbeit wird ebenfalls keine Charakterisierung der Klasse IS aller integrablen Spin-Systeme vorgenommen, sondern eine spezielle Unterklasse HIS IS untersucht, die Klasse der Heisenberg-integrablen Systeme. Diese Systeme sind durch die zusätzliche Bedingung definiert, dass N der insgesamt N unabhängigen, vertauschbaren Erhaltungsgrößen sowie die Hamilton-Funktion H selbst vom Heisenberg-Typ sind, d.h. sie lassen sich als Linearkombination von Skalarprodukten der klassischen Spin-Vektoren darstellen. E i = N E i, µ ν s µ s ν für i =,..., N () µ ν Für die verbleibende N-te Erhaltungsgröße wird eine der drei Komponenten des Gesamtspins S gewählt, üblicherweise die Komponente S (). Der sogenannte Ljapunov-Exponent ermöglicht numerische Untersuchungen, durch die sich mit hoher Sicherheit chaotisches Verhalten nachweisen und somit die Integrabilität eines Systems ausschließen lässt []. In dieser Arbeit werden für eine Auswahl von kleinen Spin-Systemen numerische Rechnungen durchgeführt, die zu der begründeten Vermutung führen, dass HIS = IS ist, wenn H vom Heisenberg-Typ ist. Ein weiteres Ergebnis dieser Arbeit ist die Aussage, dass jedes Teilsystem eines Heisenberg-integrablen Spin-Systems wieder Heisenberg-integrabel ist. Trotz dieser Aussage gelingt keine Charakterisierung der Klasse HIS selbst, aber von zwei speziellen Unterklassen HIG BS HIS, die Klasse der Heisenberg-integrablen Spin-Graphen und die Klasse derjenigen Systeme, die über einen Konstruktionsbaum B verfügen. Ein Spin-Graph wird über eine Hamilton-Funktion H = N J µ ν s µ s ν () µ ν mit J µ ν {0, } beschrieben. Offensichtlich lässt sich das Kopplungsschema eines solchen Systems durch einen ungerichteten Graphen darstellen, dessen Knoten die N Spins und dessen Kanten diejenigen Spinpaare mit J µ ν = repräsentieren. Bis auf die Ausnahme der er-kette sind alle Spin-Graphen mit N Heisenberg-integrabel. Wie sich herausstellt, ist ein Spin-Graph genau dann Heisenberg-integrabel, wenn der Spin-Graph keine er-kette als Teilsystem enthält. Diese Bedingung ist nur dann erfüllt, wenn sich der Spin-Graph in zwei Teilsysteme zerlegen lässt, die entweder gleichförmig gekoppelt oder nicht gekoppelt sind. Da die beiden Teilsysteme wieder Heisenberg-integrabel sind, ist eine rekursive Anwendung der Zerlegung möglich, so dass sich der gesamte Spin-Graph in immer kleinere Heisenberg-integrable Teilsysteme mit gleichförmiger oder keiner Kopplung zerlegen lässt. Eine geeignete Kodierung dieser Abfolge von Zerlegungen ermöglicht ein binärer Teilmengenbaum, der Konstruktionsbaum B. Die Aufhebung der Einschränkung J µ ν {0, } führt auf die allgemeinere Klasse derjenigen Systeme, die über einen solchen Konstruktionsbaum B verfügen. Obwohl bekannt ist, dass die gleichförmige Kopplung von zwei integrablen Systemen wieder integrabel ist [], scheint die Verwendung von Konstruktionsbäumen eine neue Methode zu sein, mit der erstmals die explizite Angabe der Zeitentwicklung gelingt. Als ein Beispiel für mögliche Anwendungen wird in dieser Arbeit ein neues numerisches Verfahren für nicht integrable Spin-Systeme vorgestellt, die eine Hamilton-Funktion H vom Heisenberg-Typ haben. Dieses Verfahren ist ein sogenannter symplektischer Integrator und nutzt aus, dass H aus Anteilen besteht, die Heisenberg-integrable Systeme aus der Klasse BS beschreiben. Für diese Systeme erlaubt die Verwendung von Konstruktionsbäumen sowohl die explizite Angabe als auch die exakte Berechnung der Zeitentwicklungen, die symplektische Transformationen auf dem Phasenraum darstellen. Mit Hilfe dieser Transformationen kann auf der Grundlage von sogenannten Suzuki-Trotter-Zerlegungen [6] die unbekannte Zeitentwicklung des nicht integrablen Spin-Systems approximiert werden. Die Motivation für die Entwicklung des numerischen Verfahrens liefert die Feststellung, dass die Erhaltung der symplektischen Struktur nicht nur zu einem verbesserten qualitativen Verhalten, sondern auch zu einem deutlich genaueren Langzeitverhalten führt als mit den üblichen Standardmethoden wie dem Runge-Kutta-Verfahren [6] [7]. Die Effektivität und Effizienz von symplektischen Methoden konnte anhand von Simulationen für verschiedene Fragestellungen aus Bereichen wie der Astronomie, der Mechanik oder der Molekulardynamik bestätigt werden. Das in dieser Arbeit vorgestellte numerische Verfahren gewährleistet nicht nur die Erhaltung der symplektischen Struktur sondern auch die Konstanz von typischen Erhaltungsgrößen wie zum Beispiel den Phasenraum-Volumina, den Beträgen der Einzelspins und den drei Komponenten des Gesamtspins. Obwohl die Gesamtenergie in der Regel nicht exakt erhalten ist, zeigt sich in den durchgeführten Rechnungen im Gegensatz zum Runge-Kutta-Verfahren keine systematische Drift, sondern nur eine beschränkte Fluktuation um die Anfangsenergie. Der Vergleich der numerischen mit der analytischen Lösung von Heisenberg-integrablen Systemen bestätigt die sehr hohe Genauigkeit des Verfahrens und die Eignung für große Zeitschritte, die zu einer kurzen Rechenzeit führen. Grundlagen Phasenraum Der Zustand von N klassischen Spins lässt sich durch ein N-Tupel der Form s = ( s,..., s N ) mit s µ R und s µ = für µ =,..., N beschreiben. Die Menge aller möglichen Zustände bildet den Phasenraum P eines klassischen N-Spin-Systems. P = {s = ( s,..., s N ) mit s µ R und s µ = für µ =,..., N} () Der N-dimensionale Phasenraum P ist eine kompakte Mannigfaltigkeit [] und der Produktraum von N Einheitskugeln: P = (S ) N. Poisson-Klammer Die Komponenten s i µ (i =,, ) der klassischen Spins s µ (µ =,..., N) stellen Funktionen auf dem Phasenraum P dar. s i µ : P R () Über die Lie-Poisson-Klammer für zwei (glatte) Funktionen f, g : P R wird die symplektische Struktur des Phasenraumes P definiert []. {f(s), g(s)} = N µ= ɛ ijk f s i µ g s j µ s k µ (6) Gemäß der Einsteinschen Summenkonvention wird über die Indizes i, j, k summiert. ɛ ijk bezeichnet den total antisymmetrischen Levi-Civita-Tensor. ɛ ijk = { +, falls (i, j, k) eine gerade Permutation von (,, ), falls (i, j, k) eine ungerade Permutation von (,, ) 0, sonst (7) Zunächst betrachten wir Gleichung (6) für den Fall f(s) = s i µ und g(s) = s j ν. {s i µ, s j ν} = = N λ= N λ= ɛ lmk s i µ s l λ s j ν s m λ s k λ (8 a) ɛ lmk δ li δ λµ δ mj δ λν s k λ (8 b) 6 = ɛ ijk δ µν s k µ (8 c) δ µν bezeichnet das Kronecker-Symbol. δ µν = {, falls µ = ν 0, sonst (9) Vektorfeld Nun betrachten wir Gleichung (6) für den Fall f(s) = s i µ und g(s) beliebig. {s i µ, g(s)} = = N λ= N λ= ɛ ljk s i µ s l λ ɛ ljk δ li δ λµ Aufgrund der Beziehung ( a b) i = ɛ ijk a j b k gilt {s i µ, g(s)} = g s j λ g s j λ s k λ (0 a) s k λ (0 b) g = ɛ ijk s j s k µ (0 c) µ ( ) i g s µ. () s µ Zu jeder (glatten) Funktion g : P R gibt es also ein Vektorfeld V g auf dem Phasenraum P. Dieses Vektorfeld ist ein N-Tupel mit den Elementen V g µ = { s µ, g(s)} = g s µ ( a) s µ 0 g / s µ g / s µ = g / s µ 0 g / s µ s µ ( b) g / s µ g / s µ 0 V g µ s µ. ( c) Das Vektorfeld V g ist vollständig, da der Phasenraum P kompakt ist [8]. 7 Bewegungsgleichung Ist H : P R die Hamilton-Funktion eines klassischen Spin-Systems, so wird die Zeitentwicklung einer Funktion f : P R R über df dt = f t + {f, H} () beschrieben []. Wenn f nicht explizit von der Zeit t abhängig ist, dann gilt f / t = 0 und folglich df dt = {f, H}. () Somit ist die Gesamtenergie konstant: dh / dt = {H, H} = 0. Wählen wir f(s) = s i µ, so erhalten wir mit Hilfe von Gleichung () und () die Bewegungsgleichung s µ = H s µ s µ, () die eine Präzession des µ-ten Spins um das durch die Wechselwirkung H erzeugte lokale Feld h µ = H / s µ beschreibt []. Im allgemeinen ist das lokale Feld h µ nicht konstant und der momentane Wert von h µ hängt von denjenigen Spins s ν ab, die mit dem Spin s µ wechselwirken. Die Struktur der Bewegungsgleichung gewährleistet, dass der Betrag s µ erhalten bleibt. Fluss Diese insgesamt N Bewegungsgleichungen bilden ein endlichdimensionales System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung. V H 0 ṡ = V H = V H s mit V H =... (6) 0 V H N Die formale Lösung lautet s(t) = F H t s 0 mit s 0 = s(0). (7) Der Fluss F H t : P P beschreibt die Zeitentwicklung für alle Punkte s 0 im Phasenraum P und ist definiert für alle Zeiten t, weil das Vektorfeld 8 V H vollständig ist. Die Flüsse F f t und F g t von zwei (glatten) Funktionen f, g : P R kommutieren genau dann, wenn {f, g} = 0 [9]. Kanonische Koordinaten Anstelle der klassischen Spins s µ (µ =,..., N) lassen sich die kanonischen Koordinaten (q µ, p µ ) = (ϕ µ, z µ ) mit ϕ µ [0, π] und z µ [, ] verwenden. Es gilt z µ cos ϕ µ s µ = z µ sin ϕ µ. (8) In den kanonischen Orten q = ϕ = (ϕ,..., ϕ N ) und in den kanonischen Impulsen p = z = (z,..., z N ) hat die Poisson-Klammer von zwei (glatten) Funktionen g, f : P R die Form [] z µ {f(ϕ, z), g(ϕ, z)} = N µ= f ϕ µ g g z µ ϕ µ f z µ. (9) Insbesondere ist {ϕ µ, ϕ ν } = {z µ, z ν } = 0 und {ϕ µ, z ν } = δ µν. Es gelten die kanonischen Bewegungsgleichungen ϕ µ = {ϕ µ, H(ϕ, z)} = H z µ und ż µ = {z µ, H(ϕ, z)} = H ϕ µ. (0) Wie die kanonischen Koordinaten deutlich machen, besitzt ein klassisches N-Spin-System N Freiheitsgrade. Heisenberg-Modell In der klassischen Mechanik besteht die Hamilton-Funktion H in der Regel aus einem Anteil, der nur die kanonischen Impulse enthält, und aus einem Anteil, der nur die kanonischen Orte enthält: H = T (p) + U(q). Allerdings eignet sich eine Hamilton-Funktion dieser Form nicht für die Modellierung von klassischen Spin-Systemen. Im Heisenberg-Modell wird die Wechselwirkung zwischen zwei Spins s µ und s ν durch ein Skalarprodukt der Form J µ ν s µ s ν vermittelt, wobei die (reelle) Kopplungskonstante J µ ν die Stärke der Wechselwirkung festlegt. H = N J µ ν s µ s ν ( a) µ ν 9 = N µ ν J µ ν ( ( z µ)( z ν) cos(ϕ µ ϕ ν ) + z µ z ν ) ( b) Gesamtspin Da im Heisenberg-Modell die Hamilton-Funktion H rotationsinvariant ist, sind die Komponenten S (i) (i =,, ) des Gesamtspins S = N s µ () µ= und somit das Quadrat S = S S erhalten []. Obwohl die Poisson-Klammer zwischen zwei Komponenten S (i) und S (j) nicht verschwindet {S (i), S (j) } = ɛ ijk S (k), () sind eine Komponente und das Quadrat des Gesamtspins S zwei im Sinne der Poisson-Klammer vertauschbare Erhaltungsgrößen {S (i), H} = {S, H} = {S (i), S } = 0. () 0 Integrabilität von Heisenberg-Systemen. Definitionen Definition Ein System von N klassischen Spins s,..., s N, beschrieben über eine Hamilton-Funktion H : P R der Form = N µ, ν= H = N J µ ν s µ s ν ( a) µ ν J µ ν s µ s ν mit J µ ν R, J µ ν = J νµ und J µ µ = 0, ( b) heißt Heisenberg-System. Wir sagen: H ist ein klassisches Heisenberg-System. Sind zusätzlich alle J µ ν {0, }, dann heißt H Heisenberg-Graph. Im Heisenberg-Modell können wir ein klassisches Spin-System vollständig durch die Kopplungsmatrix J beschreiben. Diese Matrix ist in der Regel durch die Hamilton-Funktion H gegeben. Aus diesem Grund können wir das System mit der Hamilton-Funktion H identifizieren. Wenn das System jedoch einen Spin enthält, der keine Wechselwirkung mit den anderen Spins eingeht, so können wir diesen Spin entfernen, ohne dass sich die Hamilton-Funktion H verändert. Durch die zusätzliche Angabe des Phasenraumes P können wir dieses Problem gegebenenfalls vermeiden. In vielen Fällen ist es nützlich, ein klassisches Heisenberg-System durch einen ungerichteten Graphen darzustellen. In dieser Darstellung werden die Spins durch die Knotenmenge M V und die Wechselwirkung zwischen den Spins durch die Kantenmenge M E des Graphen beschrieben. Die Kopplungsmatrix J ist die Adjazensmatrix des Graphen. Auf diese Art und Weise stehen uns die Methoden der Graphentheorie zur Verfügung. Für einige Fragestellungen ist es sinnvoll, ein klassisches Heisenberg-System zu zerlegen und Eigenschaften des Gesamtsystems aus den Eigenschaften der Teilsysteme abzuleiten. Dabei ist die Kopplung zwischen den Teilsystemen entscheidend. Definition H sei ein klassisches Heisenberg-System. H A heißt Teilsystem von H oder Einschränkung von H auf A, wenn H A = µ ν µ, ν A J µ ν s µ s ν mit A {,..., N}. (6) Zwei Teilsysteme H A und H B sind getrennt, wenn A B =. Gilt A, B und A B = {,..., N}, dann sind H A und H B eine Zerlegung von H. H AB = µ ν µ A, ν B J µ ν s µ s ν (7) ist die Kopplung zwischen den Teilsystemen H A und H B. Die Kopplung ist vollständig, wenn J µ ν 0 für alle µ A und ν B. Sind zusätzlich alle J µ ν = c R, dann ist die Kopplung gleichförmig. Ist H AB = 0, dann sind H A und H B ungekoppelt. Das Gesamtsystem H = H A + H B + H AB (8) ist zusammenhängend, wenn es keine ungekoppelte Zerlegung gibt.. Liouvillescher Satz über integrable Systeme Nach Aussage des Liouvilleschen Satzes ist ein Hamiltonsches System mit einem n-dimensionalen Phasenraum (mit n Freiheitsgraden ) integrabel, wenn es n unabhängige Erhaltungsgrößen E i mit {H, E i } = {E i, E j } = 0 (9) für alle i, j =,..., n gibt [, S. 7 f]. Aus diesem Grund ist ein System von N klassischen Spins integrabel, wenn es N unabhängige, vertauschbare Erhaltungsgrößen gibt []. In integrablen Spin-Systemen sind alle Phasenraum-Trajektorien regulär. Wenn allerdings weniger als N unabhängige, vertauschbare Erhaltungsgrößen existieren, dann sind chaotische Trajektorien möglich. In autonomen Systemen ist die Hamilton-Funktion H eine Erhaltungsgröße. Deswegen lässt sich in klassischen Heisenberg-Systemen E = H wählen. Um entscheiden zu können, ob ein System integrabel ist, benötigen wir jedoch weitere N Erhaltungsgrößen, die mit H und untereinander vertauschen. Zunächst suchen wir diese Erhaltungsgrößen unter den Funktionen erster und zweiter Ordnung. Diese Funktionen sind linear bzw. quadratisch in den Komponenten s i µ der Einzelspins s µ und werden in den folgenden Abschnitten genau definiert. In unseren Überlegungen können wir uns auf zusammenhängende Systeme beschränken. Wenn ein System nicht zusammenhängend ist, dann besteht siehe Abschnitt Ljapunov-Exponent dieses aus zusammenhängenden Teilsystemen, die nicht gekoppelt sind. Das Gesamtsystem ist also integrabel, wenn jedes Teilsystem integrabel ist.. Erhaltungsgrößen. Ordnung In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit den Erhaltungsgrößen erster Ordnung. Die Funktionen erster Ordnung sind linear in den Komponenten s i µ der Einzelspins s µ. Zu den Funktionen erster Ordnung gehören beispielsweise die drei Komponenten des Gesamtspins S. Definition Eine Funktion E : P R der Form E = N µ= e µ s µ mit e µ R (0) heißt Funktion erster Ordnung. Vertauscht E mit der Hamilton-Funktion H des Systems, gilt also {E, H} = 0, dann heißt E Erhaltungsgröße erster Ordnung von H. Wie wir bereits wissen, sind die drei Komponenten des Gesamtspins S in jedem klassischen Heisenberg-System H erhalten. Jedoch vertauschen diese Erhaltungsgrößen erster Ordnung nicht miteinander. Deswegen bestimmen wir, welche Bedingungen die Koeffizienten e µ erfüllen müssen, damit zwei Funktionen erster Ordnung sowohl mit der Ham
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